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Wissenswertes über Sudoku

Aufgabe und Regel

Standard-Sudokus bestehen aus 9x9 Feldern, die in 9 Unterquadrate zu je 3x3 Feldern unterteilt sind, und weisen auf einer gewissen Anzahl von Feldern eine Vorbelegung durch Ziffern auf. Die Aufgabe besteht darin, die freien Felder so auszufüllen, daß jede der Ziffern 1 bis 9 in jeder Zeile, in jeder Spalte und in jedem der 9 Unterquadrate genau einmal vorkommt.

Zur Geschichte von Sudoku

Der US-amerikanische Rätselautor Howard Garns veröffentlichte 1979 anonym unter der Bezeichnung „Number Place“ die ersten den heutigen Sudokus entsprechenden Rätsel, welche allerdings ein Nischenprodukt blieben. Die japanische Zeitschrift „Nikoli“ entdeckte diese Rätsel in einer amerikanischen Rätselzeitschrift und führte sie 1984 in Japan unter der Bezeichung „Suji wa dokushin ni kagiru“ ein, die alsbald zu „Sudoku“ verkürzt wurde. Erst 1986 wurde Sudoku in Japan populär, nachdem Nikoli das Prinzip einführte, die vorbelegten Felder in symmetrischen Ornamenten anzuordnen.

1997 lernte der Neuseeländer Wayne Gould während einer Japanreise Sudoku kennen, entwickelte daraufhin in den folgenden sechs Jahren eine Software zur automatischen Generierung von Sudoku-Rätseln und bot in 2004 die ersten Rätsel britischen Tageszeitungen an. Sie fanden schnell großen Anklang in der Leserschaft und wurden im folgenden Jahr rasch ein weltweiter Erfolg.

In Japan ist „Sudoku“ ein eingetragenes Warenzeichen von Nikoli; andere Anbieter müssen dort Bezeichnungen wie „Number Place“ benutzen.

Zur eindeutigen Lösbarkeit von Sudokus

Allen Sudoku-Rätseln, die in Magazinen, Rätselheften und auf Webseiten veröffentlicht sind, ist gemeinsam, daß sie eindeutig lösbar sind. Wieviele Felder eines vollständigen Sudokus dürfen unbelegt gemacht werden, damit es eindeutig lösbar bleibt?

• Mindestens 17 vorbelegte Felder sind nötig
  Bisher gibt es hierfür keinen auf mathematisch-logischen Schlüssen aufbauenden, sondern nur einen auf „brute force“ („exhaustive search“, d.h. rechnergestütztes Durchspielen aller möglichen Fälle, mittels Cloud-Computing) basierenden Beweis einer Forschergruppe um Gary McGuire vom University College Dublin, der aber bisher weder von anderen bestätigt noch in einem Journal publiziert wurde. Sudokus mit genau 17 vorbelegten Feldern sind beispielsweise auf sudoku17.de zu finden.
• Selbst bei nur 4 unbelegten Feldern (also bei 77 vorbelegten Feldern) gibt es Fälle, die nicht eindeutig lösbar sind
  Dies ist immer dann der Fall, wenn die 4 unbelegten Felder ein Rechteck bilden, zu 2 verschiedenen Teilquadraten gehören, die in einer Zeile oder einer Spalte liegen, und mit 2 verschiedenen Ziffern zu belegen sind.
  Sudokus mit bis zu 3 unbelegten Feldern (also mindestens 78 vorbelegten Feldern) lassen sich hingegen immer eindeutig vervollständigen.
• Die Vorbelegung muß mindestens 8 verschiedene Ziffern umfassen (also nur eine darf fehlen)
  Bei nur 7 verschiedenen Ziffern in der Vorbelegung läßt sich keine Eindeutigkeit mehr hinsichtlich der beiden fehlenden Ziffern erzielen.

Wieviele verschiedene Sudokus gibt es?

Die Anzahl vollständig ausgefüllter unterschiedlicher Sudokus läßt sich leider nicht mit überschaubaren kombinatorischen Betrachtungen ermitteln. Klar ist, daß es bei 9 verschiedenen Ziffern 9! = 362880 verschiedene Zeilen (Spalten, Unterquadrate) gibt (Zahl der Permutationen von 9 verschiedenen Objekten). Wären alle 9 Zeilen (Spalten, Unterquadrate) unabhängig voneinander, so gäbe es (9!)⁹ ≈ 1,091 · 10⁵⁰ verschiedene Möglichkeiten zum Ausfüllen des Gitters. Die weiteren Sudoku-Bedingungen reduzieren die Zahl der Möglichkeiten beträchtlich, so daß schließlich 6.670.903.752.021.072.936.960 ≈ 6,671 · 10²¹ verschiedene Möglichkeiten verbleiben (Bertram Felgenhauer, Frazer Jarvis: Enumerate possible Sudoku grids, University of Sheffield, UK, 2005; publiziert als: Mathematics of Sudoku I, Mathematical Spectrum 39, 2006, 15–22). Auch dieses Ergebnis wurde, nach Reduktion der Fallzahlen mittels logischer und Symmetriebetrachtungen, durch „brute force“ gewonnen. Details zur Suchmethode sind auf der Sudoku-Projekt-Website von Frazer Jarvis zu finden.

Aus einem regelkonformen vollständig ausgefüllten Sudoku läßt sich durch einfache Umbenennung der verwendeten Ziffern ein neues regelkonformes Sudoku gewinnen, das sich allerdings hinsichtlich der logischen Situation nicht vom Ausgangs-Sudoku unterscheidet. Entsprechend führen Achsen- und Diagonalspiegelungen sowie Drehungen nicht zu wirklich neuen logischen Situationen. Von Interesse ist daher die Antwort auf die Frage, wieviele essentiell verschiedene Sudokus es denn nun wirklich gibt. Dazu gliedert man die Menge aller möglichen Sudokus in Äquivalenzklassen und ordnet Sudokus der gleichen Äquivalenzklasse zu, wenn sie durch

• Umbenennung der Ziffern
• Spiegelung
• Drehung
• Umordnung der drei Unterquadratspalten
• Umordnung der drei Unterquadratzeilen
• Umordnung der Spalten 1-3
• Umordnung der Zeilen 1-3
• Umordnung der Spalten 4-6
• Umordnung der Zeilen 4-6
• Umordnung der Spalten 7-9
• Umordnung der Zeilen 7-9

auseinander hervorgehen und damit nicht essentiell verschieden voneinander sind. Frazer Jarvis konnte gemeinsam mit Ed Russell zeigen, daß es 5.472.730.538 derartige Äquivalenzklassen, also essentiell verschiedene Sudokus, gibt. Auch dieses Ergebnis ist publiziert worden (Ed Russell, Frazer Jarvis: Mathematics of Sudoku II, University of Sheffield, UK, 2006; publiziert als: Mathematics of Sudoku II, Mathematical Spectrum 39, 2006, 54–58). Weitere Informationen zur Ermittlung des Resultats sind wiederum auf der Sudoku-Projekt-Website von Frazer Jarvis zu finden.